1. Compressible gas dynamics with DG

E=mc^2

$$
\begin{align}
\frac { \partial \rho } { \partial t } + \frac { \partial \rho u } { \partial x } + \frac { \partial \rho v } { \partial y } & = 0 \
\frac { \partial \rho u } { \partial t } + \frac { \partial \rho u ^ { 2 } + p } { \partial x } + \frac { \partial \rho u v } { \partial y } & = 0 \
\frac { \partial \rho v } { \partial t } + \frac { \partial \rho u v } { \partial x } + \frac { \partial \rho v ^ { 2 } + p } { \partial y } & = 0 \
\frac { \partial E } { \partial t } + \frac { \partial u ( E + p ) } { \partial x } + \frac { \partial v ( E + p ) } { \partial y } & = 0
\end{align}
$$

其中ρ为气体密度， (ρu, ρv) 为x和y方向的动量，p为气体内部压力，E为气体内能。气体的内能E是内部压力以及气体动能所产生势能的总和，表示为：
$$
E = \frac { p } { \gamma - 1 } + \frac { \rho } { 2 } \left( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right)
$$
上式中γ为气体常数。对于单原子气体取γ = 1.4。上面的方程中忽略了粘性效应以及热扩散，这些相关项将会在NS方程中考虑。为了构造一类非线性守恒律相对广义的数值离散，这里以欧拉方程为例，将上面的控制方程表示为如下矢量形式：
$$
\frac { \partial \mathbf { q } } { \partial t } + \frac { \partial \mathbf { F } } { \partial x } + \frac { \partial \mathbf { G } } { \partial y } = 0
$$
其中：
$$
\mathbf { q } = \left( \begin{array} { c } { \rho } \ { \rho u } \ { \rho v } \ { E } \end{array} \right) , \mathbf { F } = \left( \begin{array} { c } { \rho u } \ { \rho u ^ { 2 } + p } \ { \rho u v } \ { u ( E + p ) } \end{array} \right) , \mathbf { G } = \left( \begin{array} { c } { \rho v } \ { \rho u v } \ { \rho v ^ { 2 } + p } \ { v ( E + p ) } \end{array} \right)
$$
表示流场状态矢量和两个非线性的通量。在获得流场的初始状态量(ρ, u, v, p)之后，就可以直接求解得到上面的通量矢量。这里将状态矢量储存为含有4个组成的数组Q。F和G可以通过Q中的变量组合求解得到。

根据前文的研究可以知道流场的状态矢量可以展开为N阶多项式的组合：
$$
{\bf{q}}^h=\sum_{n=1}^N{\bf{q}n}\psi_n(\xi,\eta) $$ 上面的模态展开的状态矢量对所有试函数$\psin$下均需要满足间断伽辽金的弱形式方程： $$ \int { \mathrm { D } ^ { k } } \left( \frac { \partial \mathbf { q } { h } } { \partial t } \psi { n } - \mathbf { F } { h } \frac { \partial \psi { n } } { \partial x } - \mathbf { G } { h } \frac { \partial \psi { n } } { \partial y } \right) d \boldsymbol { x } + \int { \partial \mathrm { D } ^ { k } } \left( \hat { n } { x } \mathbf { F } { h } + \hat { n } { y } \mathbf { G } { h } \right) ^ { } \psi { n } d \boldsymbol { x } = 0
$$
对上面的边界通量项，我们采用局部Lax-Friedrichs通量：
$$
\left( \hat { n } { x } \mathbf { F } { h } + \hat { n } { y } \mathbf { G } _ { h } \right) ^ { } = \hat { n } { x } \left{ \left{ \mathbf { F } { h } \right} \right} + \hat { n } { y } \left{ \left{ \mathbf { G } { h } \right} \right} + \frac { \lambda } { 2 } \cdot [[ \mathbf { q } _ { h } ]]
$$